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Activités de construction de pavages de Penrose.

vendredi 17 juin 2011 par webmaster

Les pavages de Penrose sont : beaux, intéressants, modernes (!)...
Ils permettent un travail multi-niveaux avec l’utilisation du rapporteur, les constructions de triangles et quadrilatères, etc.


On peut réaliser des pavages de Penrose de différentes façons :

- en utilisant des triangles isocèles
- en utilisant des losanges
- en utilisant des cerf-volants
- etc.

Dans tous les cas, les pavages obtenus sont "quasi-périodiques" (ce qui constitue leur intérêt du point de vue de la physique et des mathématiques), mais ce qui en fait surtout des pavages esthétiquement très jolis...

Remarque : pour être certain d’obtenir un pavage du plan, sans qu’il y ait de trou ni de recouvrement, il peut être utile d’expliquer aux élèves des règles locales d’agencement des pièces les unes avec les autres. Voici par exemple une image provenant du site http://semsci.u-strasbg.fr/penrose.htm qui montre de telles règles pour les losanges...
http://semsci.u-strasbg.fr/penrose.htm

Si on fait fabriquer un pavage à un groupe d’élèves, chacun d’entre eux va construire des triangles ou des quadrilatères sur des feuilles de papier de différentes couleurs, avant de venir coller ses productions sur un poster commun à l’ensemble du groupe. L’intérêt est essentiellement de l’ordre de la motivation : les élèves participent à une construction commune, qui sera un objet ayant en soi un intérêt esthétique. L’exercice de la construction des figures est donc motivé et motivant. De plus, si une figure est mal construite, elle ne s’adaptera pas à l’ensemble du pavage : là encore, la qualité du travail demandé est motivée.

Les descriptions des figures utilisent des schémas codés.
Il est possible de limiter les informations données, de façon à adapter la difficulté en fonction des élèves et en fonction du contenu mathématique qui doit être travaillé :
- pour les triangles isocèles, le travail peut être axé sur : la construction de triangles en utilisant le compas, l’utilisation du rapporteur, l’utilisation de l’axe de symétrie des triangles isocèles. (Niveau 6e, donc.)
- pour les losanges et les cerfs-volants, le travail peut être axé sur : la construction de losanges (en utilisant le compas, en utilisant les propriétés des diagonales, en utilisant les propriétés de symétrie...), l’utilisation du rapporteur. (Niveau 6e-5e.)
- de plus, les pavages de Penrose utilisent le nombre d’or {1+\sqrt{5}}\over{2} dont une valeur approchée peut être calculée par les élèves. On peut aussi ajouter des difficultés en travaillant avec différentes unités (cm et dm) ou en limitant les données pour forcer les élèves à utiliser la propriété de somme des angles d’un triangle par exemple. (On est alors à un niveau 5e-4e.)

Dans le document ci-dessous, trois fiches sont proposées.
Les objectifs poursuivis étaient :
- faire une mise à niveau sur l’utilisation des instruments de géométrie et en particulier du rapporteur
- travailler sur l’utilisation des schémas codés, sur les propriétés de symétrie, sur la planification par les élèves de constructions nécessitant plusieurs étapes
- pour les élèves les plus avancés (4e-3e), définir le cerf-volant, forcer à l’utilisation de la calculatrice pour le calcul de {1+\sqrt{5}}\over{2}, forcer les élèves à travailler en décimètres.

PDF - 76.9 ko
3 fiches sur les pavages de Penrose
OpenDocument Text - 56.1 ko
3 fiches sur les pavages de Penrose

Comme précisé ci-dessus, ces documents peuvent facilement être modifiés (avec OpenOffice), en fonction des objectifs visés.

http://images.math.cnrs.fr/spip.php?page=image&id_document=1552
Aurélien Alvarez, « Fléchettes et cerfs-volants dans le ciel mathématique » — Images des Mathématiques, CNRS, 2010. En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Flechettes-et-cerfs-volants-dans.html

http://images.math.cnrs.fr/Flechettes-et-cerfs-volants-dans.html
Empilement de cercles par Jos Leys basé sur un pavage de Penrose.
http://images.math.cnrs.fr/spip.php?page=image&id_document=1552

Un lien vers un autre travail intéressant sur les pavages de Penrose :
http://www.jill-jenn.net/works/autour-du-pavage-de-penrose.pdf

Enfin, un lien vers un petit film d’animation sur le pavage de Penrose, très bien fait et disponible en 3 langues, avec sous-titrage en 4 langues, dont le français :
http://penrose.dmf.unicatt.it/ (Department of Mathematics and Physics Niccolò Tartaglia at the Catholic University of the Sacred Heartk in Brescia, Italy)


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